Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Pernahkah kalian  belanja ke swalayan, supermarket ataupun pasar : tentu pernah kan. Nah ketika anda berbelanja bersama teman - teman anda, misal Andi membeli pensil, buku dan penggaris dengan harga Rp9.000,00, Dita membeli 1 pensil, 2 buku, 3 penggaris dengan harga Rp18.000,00 kemudian Ali membeli 1 pensi, 1 buku dan 3 penggaris dengan harga Rp15.000,00. Bagaimana kalian bisa menentukan masing - masing harga satuan setiap barang tersebut ? Permasalahan ini merupakan salah satu contoh permasalahan sistem persamaan linear dalam kehidupan sehari - hari. Untuk menemukan solusinya, simaklah Materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel berikut ini :

1.     Konsep Persamaan Linier

Persamaan linier adalah persamaan yang memunculkan variabel-variabel dengan bentuk tunggal berpangkat satu. Sedang sistem persamaan linier adalah sistem persamaan yang memunculkan variabel-variabel dengan bentuk tunggal berpangkat satu.

2.     Definisi dan Bentuk Umum SPLTV

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

ax + by + cz = d	atau	a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h		a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l		a3x + b3y + c3z = d3

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, dan d₃ merupakan bilangan-bilangan real.

Keterangan:

a, e, i, a₁, a₂, a₃ = koefisien dari x

b, f, j, b₁, b₂, b₃ = koefisien dari y

c, g, k, c₁, c₂, c₃ = koefisien dari z

d, h, l, d₁, d₂, d₃ = konstanta

x, y, z = variabel atau peubah

            a, e, i, a₁, a₂, a_3, b, f, j, b₁, b₂, b_3,c, g, k, c₁, c₂, c₃, d, h, l, d₁, d₂, d₃ 

Ciri–Ciri SPLTV

Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear tiga variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut.

■ Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)

■ Memiliki tiga variabel

■ Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLTV

Terdapat tiga komponen atau unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel, yakni: suku, variabel, koefisien dan konstanta. Berikut ini adalah penjelasan masing-masing komponen SPLTV tersebut.

1 Suku

Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.

Contoh :

6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y, 4z dan 7.

2 Variabel

Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z.

3 Koefisien

Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika ditulis dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2, 5 dan 6 adalah koefisien di mana 2 adalah koefisien x , 5 adalah koefisien y dan 6 adalah koefisien z.

4  Konstanta

Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.

Contoh :

2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah  7, karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.

Syarat SPLTV Memiliki Satu Penyelesaian

Suatu sistem persamaan linier 3 variabel akan tepat memiliki sebuah penyelesaian atau satu himpunan penyelesaian jika memenuhi syarat atau ketentuan berikut ini.

■ Ada lebih dari satu atau ada tiga persamaan linier tiga variabel sejenis.

Contoh :

x + y + z = 5

x + 2y + 3z = 6

2x + 4y + 5z = 9

■ Persamaan Linier Tiga Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel, bukan Persamaan Linier Tiga Variabel yang sama.

Contoh :

2x − 3y + z = −5

2x + z − 3y + 5 = 0

4x – 6y + 2z = −10

Ketiga persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear tiga variabel yang sama sehingga tidak memiliki tepat satu himpunan penyelesaian.

3.     Penyelesaian Persamaan Linier

Penyelesaian suatu sistem persamaan linier dua variabel apabila pasangan tersebut memenuhi sistem persamaan itu. Memenuhi artinya jika disubtitusikan, maka nilai ruas kiri nilai ruas kanan.

4.     Cara Penyelesaian SPLTV

Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel dapat kita tuliskan sebagai berikut.

_a1x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Jika nilai x = x₀, y = y₀, dan z = z₀, ditulis dengan pasangan terurut (x₀, y₀, z₀), memenuhi SPLTV di atas, maka haruslah berlaku hubungan sebagai berikut.

a₁x₀ + b₁y₀ + c₁z₀ = d₁

a₂x₀ + b₂y₀ + c₂z₀ = d₂

a₃x₀ + b₃y₀ + c₃z₀ = d₃

Dalam hal demikian, (x₀, y₀, z₀) disebut penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dan himpunan penyelesaiannya ditulis sebagai {(x₀, y₀, z₀)}.

Sebagai contoh, terdapat SPLTV berikut ini.

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

SPLTV di atas mempunyai penyelesaian (3, 2, 4) dengan himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}. Untuk membuktikan kebenaran bahwa (3, 2, 4) merupakan penyelesaian dari SPLTV tersebut, maka subtitusikanlah nilai x = 3, y = 2 dan z = 4 ke dalam persamaan 2x + y + z = 12, x + 2y– z = 3 dan 3x – y + z = 11, sehingga kita peroleh:

⇔ 2(3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, benar

⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3, benar

⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11, benar

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:

            a.       Metode subtitusi  

            b.      Metode eliminasi

            c.       Metode gabungan atau campuran

            d.      Metode determinan

a.      Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Subtitusi

Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan menggunakan metode subtitusi. Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut.

Langkah 1:

Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

Langkah 2:

Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapa sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Langkah 3:

Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.

Supaya kalian lebih memahami bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode subtitusi, silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal :

Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode subtitusi.

x – 2y + z = 6

3x + y – 2z = 4

7x – 6y – z = 10

Jawab:

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2y – z + 6

■ Subtitusikan variabel atau peubah x ke dalam persamaan kedua

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

⇒ 7y – 5z + 18 = 4

⇒ 7y – 5z = 4 – 18

⇒ 7y – 5z = –14 ……………….. Pers. (1)

■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10

⇒ 8y – 8z + 42 = 10

⇒ 8y – 8z = 10 – 42

⇒ 8y – 8z = –32

⇒ y – z = –4 ……………….. Pers. (2)

■ Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y dan z:

7y – 5z = –14

y – z = –4

■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan kedua. Dari persamaan kedua, kita peroleh

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan pertama

⇒ 7y – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2

⇒ z = 7

■ Subtitusikan nilai z = 7 ke salah satu SPLDV, misal y – z = –4 sehingga kita peroleh

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke salah satu SPLTV, misal x – 2y + z = 6 sehingga kita peroleh

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 5, y = 3 dan z = 7. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(5, 3, 7)}.

Untuk memastikan bahwa nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, kalian dapat mengeceknya dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam tiga SPLTV di atas.

 

b.      Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Eliminasi

Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan menggunakan metode eliminasi. Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi adalah sebagai berikut.

Langkah 1:

Pilih bentuk peubah (variabel) yang paling sederhana.

Langkah 2:

Eliminasi atau hilangkan salah satu peubah (misal x) sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Langkah 3:

Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah.

Langkah 4:

Eliminasi peubah lainnya (yaitu z) untuk memperoleh nilai peubah yang kedua.

Langkah 5:

Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh.

Supaya kalian lebih memahami bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi, silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal :

Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut dengan menggunakan metode eliminasi.

2x – y + z = 6

x – 3y + z = –2

x + 2y – z = 3

Jawab:

Langkah pertama, kita tentukan variabel apa yang akan kita elminasi terlebih dahulu. Supaya mudah, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah z sehingga kita akan mengeliminasi z terlebih dahulu.

Untuk menghilangkan variabel z, kita harus menyamakan koefisiennya. Berhubung koefisien z dari ketiga SPLTV sudah sama yaitu 1, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga peubah z hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

■ Dari persamaan pertama dan kedua:

2x – y + z	=	6
x – 3y + z	=	–2	−
x + 2y	=	8

■ Dari persamaan kedua dan ketiga:

x – 3y + z	=	–2
x + 2y – z	=	3	+
2x – y	=	1

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

x + 2y = 8

2x – y = 1

Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai x dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x + 2y = 8 → koefisien y = 2

2x – y = 1 → koefisien y = –1

Agar kedua koefisien y sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 1 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 2. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x + 2y	=	8	|× 1|	→	x + 2y	=	8
2x – y	=	1	|× 2|	→	4x – 2y	=	2	+
					5x	=	10
					x	=	2

Kedua, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi x. Untuk dapat mengeliminasi peubah x, maka kita juga harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x + 2y = 8 → koefisien x = 1

2x – y = 1 → koefisien x = 2

Agar kedua koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali 2 sedangkan persamaan kedua kita kali 1. Setelah itu, kedua persamaan kita selisihkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x + 2y	=	8	|× 2|	→	2x + 4y	=	16
2x – y	=	1	|× 1|	→	2x – y	=	1	−
					5y	=	15
					y	=	3

Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai x = 2 dan y = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai z, kita subtitusikan nilai x dan y tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan 2x – y + z = 6 sehingga kita peroleh:

⇒ 2x – y + z = 6

⇒ 2(2) – 3 + z = 6

⇒ 4 – 3 + z = 6

⇒ 1 + z = 6

⇒ z = 6 – 1

⇒ z = 5

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 2, y = 3 dan z = 5 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(2, 3, 5)}.

c.       Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Gabungan atau Campuran

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode gabungan/campuran merupakan cara penyelesaian dengan menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode ini bisa dikerjakan dengan subtitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.

Pada kesempatan kali ini, kta akan mencoba metode gabungan/campuran dengan 2 teknik yaitu:

● Mengeliminasi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan metode subtitusi.

● Mensubtitusi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan metode eliminasi

Prosesnya hampir sama seperti penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi dan metode subtitusi. Supaya lebih jelas, langsung saja kita menuju contoh soal dan pembahasannya berikut ini. 

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.

x – y + 2z = 4

2x + 2y – z = 2

3x + y + 2z = 8

Jawab:

■ Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk

menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1

2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2

3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1

Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x – y + 2z	=	4	|× 2|	→	2x – 2y + 4z	=	8
2x + 2y – z	=	2	|× 1|	→	2x + 2y – z	=	2
3x + y + 2z	=	8	|× 2|	→	6x + 2y + 4z	=	16

Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

2x – 2y + 4z	=	8
2x + 2y – z	=	2	+
4x + 3z	=	10

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 2y – z	=	2
6x + 2y + 4z	=	16	−
−4x − 5z	=	−14
4x + 5z	=	14

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

4x + 3z = 10

4x + 5z = 14

■ Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇒ 4x + 3z = 10

⇒ 4x = 10 – 3z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.

⇒ 4x + 5z = 14

⇒ (10 – 3z) + 5z = 14

⇒ 10 + 2z = 14

⇒ 2z = 14 – 10

⇒ 2z = 4

⇒ z = 2

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:

⇒ 4x + 3(2) = 10

⇒ 4x + 6 = 10

⇒ 4x = 10 – 6

⇒ 4x = 4

⇒ x =1

Langkah terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ x – y + 2z = 4

⇒ (1) – y + 2(2) = 4

⇒ 1 – y + 4 = 4

⇒ 5 – y = 4

⇒ y = 5 – 4

⇒ y = 1

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 dan z = 2 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(1, 1, 2)}.