Integral Bagian 3

Tahukah kalian dengan ilmuwan Isaac Newton ? Isaac Newton merupakan ilmuwan dari Inggris. Dalam bidang Matematika, Newton mengembangkan kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Pada bagian ini, kalian akan belajar metode pengintegralan yang dasar teorinya merupakan hasil pemikiran Newton yaitu metode integral substitusi. Metode substitusi merupakan salah satu metode untuk mencari suatu integral dengan cara menyubstitusikan salah satu bentuk variabel, lalu mengubahnya menjadi sebuah bentuk yang lebih sederhana. Metode ini digunakan ketika proses pengintegralan tidak dapat diselesaikan dengan rumus – rumus dasar integral. Seandainya dapat diselesaikan dengan rumus – rumus dasar integral maka akan memerlukan waktu yang lama dan proses yang cukup panjang. Bagaimana proses pengintegralan dalam metode tersebut ? Kalian dapat mengetahuinya setelah mempelajari berikut ini.

           1. Integral Substitusi

Aturan integral substitusi digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus – rumus dasar yang sudah dipelajari. Dalam menyelesaikan masalah ini, bentuk integral yang harus dibawa ke dalam salah satu atau beberapa bentuk integral yang telah dikenal sebelumnya. Dengan cara memasukkan atau menyubstitusikan variabel baru yang tepat sehingga bentuknya sesuai dnegan rumus – rumus dasar yang sudah ada.

Metode integral substitusi ini didasarkan pada turunan fungsi komposisi. Misalkan terdapat fungsi komposisi y = f(g(x)) maka turunannya adalah y’ = f’(g(x)) x g’(x).

         Berdasarkan bentuk tersebut maka diperoleh :

df(g(x) / dx    = f’(g(x)) x g’(x)

          df(g(x)            = [f’(g(x)) x g’(x)] dx

Int df(g(x)      = Int [f’(g(x)) x g’(x)] dx

f(g(x)) + C      = Int [f’(g(x)) x g’(x)] dx

Int [f’(g(x)) x g’(x)] dx = f(g(x)) + C

Jika digunakan pemisalan u = g(x) maka du = g’(x)dx.

Dengan demikian, diperoleh :

Int [f’(g(x)) x g’(x)] dx = f(g(x)) + C

Int f’(u) du =  f(u) + C

Contoh 1 :

         Tentukan Int 12(4x – 5)²dx

 
Contoh 2 :

Tentukan Int 4x³ (x⁴ – 1)⁴dx !

Penyelesaian : 

Integral substitusi memiliki ciri khusus yaitu misalkan Int (u.vⁿ) dx merupakan integral substitusi jika u/v’ adalah konstanta/bilangan.

2.    Integral Substitusi Fungsi Berpangkat
Berdasarkan rumus Int f’(u)du = f(u) + c, kita dapat menurunkan rumus – rumus berikut ini :

a.    Untuk u = x + b maka du = dx

Int (x+b)ⁿ dx = Int uⁿ du =( uⁿ⁺¹ )/(n+1) + C =( (x+b)ⁿ⁺¹ )/(n+1) + C

b.    Untuk u = ax + b maka du = a.dx sehingga dx = du/a

Int (ax+b)ⁿ dx = [Int uⁿ]/a du =( uⁿ⁺¹ )/a.(n+1) + C =( (ax+b)ⁿ⁺¹ )/a.(n+1) + C

Contoh :

Tentukan Int (2x + 5)⁹ dx ! 

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan menggunakan rumus – rumus dasar, maka terlebih dahulu kita uraikan (2x + 5)⁹ dimana membutuhkan proses yang panjang dan waktu yang sangat lama. Oleh karena itu, disinilah integral substitusi digunakan.

Untuk mengukur tingkat kepahaman kalian, silahkan  kalian mengerjakan soal Quizizz pada link berikut ini :

quizizz.com/join?gc=017240

kode join quizizz tertera pada bagian akhir link, yaitu 017240.

Selamat Mengerjakan, Semoga Sukses