Logika Matematika

Pernahkah kalian mengikuti Tes Potensi Akademik atau Psikotest ? Pada soal psikotest terdapat beberapa soal berkaitan dengan logika berpikir. Begitu juga dalam kehidupan sehari – hari kita sering mendengar istilah logika berpikir yang artinya cara berpikir seseorang yang masuk akal. Logika berpikir yang baik, runtut dan logis akan memberikan solusi yang tepat dari sebuah permasalahan yang dihadapi. Logika tidak hanya dikenal dalam keseharian saja akan tetapi pada pelajaran matematika kita juga mengenal logika matematika.  Pada postingan ini kita akan mengenal lebih dekat apa itu logika. Ada beberapa hal yang akan kita pelajari pada logika matematika ini diantaranya  Kalimat Pernyataan , kalimat terbuka, ingkaran pernyataan, Pernyataan berkuantor, Pernyataan Majemuk, Invers, Konvers, Kontraposisi dan Penarikan Kesimpulan.  Pengertian Kalimat, akan diuraikan mengenai kalimat bermakna, tidak bermakna, kalimat terbuka, pernyataan dan bukan pernyataan, dan nilai kebenaran beserta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Kemudian Pernyataan Majemuk, akan diuraikan mengenai ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi, ingkaran kalimat majemuk beserta tabel kebenaran untuk setiap kata hubung dan kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Pada Penarikan Kesimpulan akan diuraikan mengenai berbagai cara penarikan kesimpulan, yaitu: Modus ponens, modus tolens, dan silogisme, serta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

A.    Pernyataan , kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan.

1.      Pernyataan

      Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.

      Contoh :

a.       Hasil kali 5 dan 4 adalah 20

b.      Semua unggas dapat terbang

c.       Ada bilangan prima yang genap

      Contoh a dan c adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b penyataan yang bernilai salah.

Contoh kalimat yang bukan pernyataan :

a.       Semoga nanti engkau naik kelas

b.      Tolong tutupkan pintu itu

c.       Apakah ali sudah makan ?

Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dan sebagainya.

Misalnya :

P : Semua bilangan prima adalah ganjil

q : Jakarta ibukota Indonesia

Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu :

a.       Dasar empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu.

Contoh :

* Rambut adik panjang

* Besok pagi cuaca cerah

b. Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.

      Contoh :

      * Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180⁰

      * Tugu muda terletak di kota Semarang

2.      Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.

Contoh :

a.       2x + 3 = 9

b.      5 + n adalah bilangan prima

c.       Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah

3.      Ingkaran dari pernyataan

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.

Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”.

Contoh :

a.       p     : Ayah pergi ke pasar

~ p  : Ayah tidak pergi ke pasar

b. q      : 2 + 5 < 10

    ~ q  : 2 + 5 > 10

B.     Pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas

Ada 2 macam kuantor, yaitu :

1.      Kuantor Universal

Dalam pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca untuk semua atau untuk setiap)

Contoh :

Semua ikan bernafas dengan insang.

2.  Kuantor Eksistensial

Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan E ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian)

Contoh :

Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru

Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Contoh :

a.          p  : Semua ikan bernafas dengan insang

      ~ p  : Ada ikan bernafas tidak dengan insang

b.     q   : Beberapa siswa SMA malas belajar

     ~ q  : Semua siswa SMA tidak malas belajar

      C.    Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung.

Ada 4 macam pernyataan majemuk :

1.      Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan ^ yang dibaca p dan q

Konjungsi selalu bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.

Contoh :

p  :  3⁴ = 51       bernilai salah

q  : 2 + 5 = 7     bernilai benar

  : 3⁴ = 51 dan 2 + 5 = 7    bernilai salah

Contoh konjungsi pada tabel kebenaran berikut ini :

2.      Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.

Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan v dan dibaca p atau q

Disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

Contoh :

P : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7      (pernyataan bernilai benar)

q : Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)

 : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di Jakarta  (pernyataan bernilai benar)

           3.      Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika .... maka .......”

Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p -> q yang dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat cukup bagi p”

Dari implikasi p -> q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa

q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.

Implikasi selalu bernilai salah jika sebabnya benar dan akibatnya salah.

Contoh :

P : 5 + 4 = 7                        (pernyataan salah)

q : Indonesia di benua eropa  (pernyatan salah)

p -> q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)

5.  Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika dan hanya jika............” dan dilambangkan .

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p  q yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.

Biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama.

Contoh :

p : 3 + 10 =14                 (pernyataan salah)

q : Persegi adalah segitiga (pernyataan salah)

p  q :  3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga (pernyataan salah)

Perhatikan video penjelasan tentang tabel kebenaran berikut ini :

(Sumber youtube sibejojadda, sibejo.com)

D.      Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari implikasi p  q dapat dibentuk implikasi baru :

1.      q  p  disebut konvers dari implikasi semula

2.      ~ p  ~ q disebut invers dari implikasi semula

3.      ~ q  ~ p disebut kontraposisi dari implikasi semula

Contoh :

p : Tia penyanyi

q : Tia seniman

implikasi p  q  : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman

Konvers  q  p  : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi

Invers ~ p  ~ q : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman

Kontraposisi ~ q  ~ p : Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi

E.       Pernyataan Majemuk Yang Ekuivalen

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah

            F.     Negasi dari Pernyataan Majemuk

1. ~ (p  q)    ~ p v ~ q

2. ~ (p v q)     ~ p  ~ q

3. ~ (p  q)      p  ~ q

4. ~ (p  q)    (p  ~ q)  v (q ~ p)

Contoh :

1.      Negasi dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2  8 atau adik tidak naik kelas

2.      Negasi dari jika adik belajar maka ia bisa adalah adik belajar dan ia tidak bisa

G.      Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

H.      Penarikan Kesimpulan

Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi.

Contoh :

Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas

Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang

Premis 3 : Adik rajin belajar

Konklusi : Ibu senang

Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar pula.

Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu :

1.      Modus Ponens

Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut :

Premis 1  : p -> q

Premis 2  : p

      Konklusi  : q

2.      Modus Tollens

Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb :

Premis 1 : p -> q

Premis 2 : ~ q

Konklusi : ~ p

3.      Silogisme

Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb :

Premis 1 : p -> q

Premis 2 : q -> r

Konklusi : p -> r

            Contoh :

            Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :

1.      Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat

Premis 2 : Ibu sakit

Konklusinya : Ibu minum obat

2.      Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak

Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak

Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak

3.      Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik

Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik

                  Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik
Perhatikan video penarikan kesimpulan berikut ini :

                                                (Sumber youtube sibejojadda, sibejo.com)

Setelah memahami materi diatas, kerjakanlah soal quiz berikut ini untuk mengukur tingkat pemahaman kalian :