Peluang Suatu Kejadian

Tahukah kalian apa itu peluang ? Dalam kehidupan sehari - hari, peluang dikenal dengan sebutan probabilitas yang artinya nilai suatu kemungkinan. Misalnya cuaca hari ini mendung, kemudian kita memprediksikan bahwa kira – kira hari ini akan turun hujan atau tidak turun hujan. Nah, untuk menentukan nilai perkiraan ini kita menggunakan pengetahuan tentang peluang. Pada postingan kali ini kalian akan mempelajari Peluang dan Frekuensi Harapan. Pada Peluang akan diuraikan mengenai Peluang, Peluang kejadian majemuk yang meliputi Peluang kejadian saling lepas, peluang kejadian saling bebas, peluang kejadian bersyarat. Kemudian untuk Frekuensi Harapan akan diuraikan mengenai cara menghitung frekuensi harapan, serta penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Untuk mempelajari materi ini kalian memerlukan adanya prasyarat pengetahuan yaitu Faktorial pada materi yang telah dipelajari sebelumnya tentang materi kaidah pencacahan..

Setelah mempelajari materi ini, nantinya diharapkan kalian dapat:

•        Memahami dan menggunakan peluang suatu kejadian untuk menyelesaikan masalah.
•       Memahami dan menggunakan peluang kejadian saling lepas dalam menyelesaikan masalah.
•    Menyebutkan definisi peluang kejadian bersyarat dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.
•     Menyebutkan definisi peluang kejadian saling bebas dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.
•      Menyebutkan definisi peluang gabungan dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.
•      Menyebutkan komplemen suatu kejadian.
•      Memahami pengertian frekuensi harapan.
•      Menggunakan frekuensi harapan dalam menyelesaikan masalah.

Berikut ini adalah materi peluang :

    A.    PELUANG SUATU KEJADIAN

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan, yang dilambangkan dengan huruf S. Kejadian  adalah sembarang himpunan bagian dari ruang sampel, sedang kejadian yang hanya memuat sau titik sampel disebut kejadian sederhana. Titik sampel adalah setiap anggota pada ruang sampel

2. Menghitung Peluang Suatu Kejadian

Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan tiap anggotanya. S memiliki kesempatan yang sama untuk muncul, dan A adalah suatu kejadian dengan , maka peluang kejadian A adalah:

Catatan:

·         P (A)  = Peluang suatu kejadian A

·         n (A)  = Banyaknya anggota dalam himpunan kejadian A

·         n (S)  = Banyaknya anggota dalam himpunan S

Contoh :

Pada percobaan melempar sebuah dadu tentukan peluang munculnya bilangan genap.

Jawab:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}↔ n (S)  = 6

Missal A = kejadian munculnya bilangan genap

A = {2, 4, 6}↔n (A)  = 3

Jadi peluang munculnya bilangan genap adalah =

          3.       Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Jika diketahui kejadian A maka komplemen kejadian A dinotasikan dengan A¹ atau A^c dan peluang dari A^c ditulisP (A^c) dengan rumus:

Catatan:

·         P (A^c)  = peluang kejadian Komplemen A

·         P (A)   = peluang kejadian A

 Untuk memperjelas pemahaman tentang ruang sampel dan peluang, perhatikan penjelasan pada video berikut ini :

         4.      Peluang Kejadian Majemuk (A u B) dan (A n B)

Dengan mengingat kembali pengetahuan mengenai teori himpunan bahwa bila A dan B dua himpunan dalam himpunan semesta S, gabungan dari A dan B adalah himpunan baru yang anggotannya terdiri atas anggota A atau anggota B, atau anggota keduanya ditulis A u B = {x є A atau x є B}.

Banyaknya anggota himpunan A u B adalah

n (A u B) = n(A) + n(B) – n (A n B)

Sejalan dengan himpunan gabungan tersebut, karena ada keterkaitan antara teori himpunan dengan teori probabilitas, kita dapat merumuskan kejadian gabungan A dan B, yaitu kejadian A u B pada ruang sampel S. Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, gabungan kejadian A dan B yang ditulis A u B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada kedua-duanya. Kejadian A u B disebut kejadian majemuk. Demikian halnya, kejadian A u B yaitu kumpulan titik sampel yang ada pada A dan B, juga disebut kejadian majemuk. Probabilitas kejadian A u B dirumuskan sebagai berikut

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

Penjelasan rumus tersebut adalah sebagai berikut :

Kita telah tahu bahwa

n(A u B) = n(A) + n(B) – n(A n B)

Bila dua ruas persamaan dibagi dengan n(S), diperoleh

n(A u B) / n(S) = n(A) / n(S) + n(B) / n(S) – n(A n B) / n(S)

sehingga

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

Contoh :

Kita ambil satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A = kejadian terpilihnya kartu AS dan B = kejadian terpilihnya kartu wajik, hitunglah P(A u B)

Jawab

P(A) = 4/52                 P(B) = 13/52               P(A n B) = 1/52 (kartu AS dan Wajik)

Maka,

P(A u B)          = P(A) + P(B) – P(A n B)

                 = 4/52 + 13/52 – 1/52

                 = 16/52

Probabilitas kejadian majemuk A u B sebagaimana rumus tersebut masih dapat dikembangkan lebih lanjut menjadi probabilitas kejadian majemuk yang terdiri dari tiga kejadian A, B, C yang ditulis dengan A u B u C. Probabilitas kejadian majemuk A u B u C dapat dirumuskan sebagai berikut :

P(A u B u C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A n B) – P(A n C) – P(B n C) + P(A n B n C)

Berikut ini adalah jenis – jenis peluang kejadian majemuk :

a.      Dua Kejadian Saling Lepas

Dalam menentukan probabilitas dengan aturan matematis penjumlahan dan pengurangan perlu diketahui sifat dua atau lebih peristiwa. Sifat dua atau lebih peristiwa tersebut adalah saling meniadakan (mutually exclusive) dan tidak saling meniadakan (non-mutually exclusive). Bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku A n B = Ø, A dan B dikatakan dua kejadian saling lepas atau saling bertentangan, atau saling terpisah (mutually exclusive). Hal ini menunjukkan bahwa peristiwa A dan peristiwa B dua kejadian saling lepas, P(A n B) = P(Ø) = 0, sehingga probabilitas kejadian A u B dirumuskan sebagai berikut :

P(A u B) = P(A) + P(B)

Contoh :

Bila A dan B dua kejadian saling lepas, dengan P(A) = 0.3 dan P(B)  = 0.25, tentukanlah P(A u B)

Jawab :

Karena A dan B saling lepas, berlaku :

P(A u B) = P(A) + P(B)

         = 0.3 + 0.25 = 0.55

Dengan demikian dapat kita kembangkan rumus probabilitas tiga kejadian A, B, C yang saling lepas, yaitu :

P(A u B u C) = P(A) + P(B) + P(C)

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An adalah kejadian-kejadian yang saling lepas, berlaku rumus probabilitas sebagai berikut :

P(A1 u A2 u A3 u, …, u An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(An)    = Σ P(A)

b.      Dua Kejadian Saling Bebas

Sifat dua atau lebih peristiwa dari suatu percobaan dapat independen dan dapat pula dependen. Dua atau lebih peristiwa dikatakan independen jika terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Sebaliknya, dua atau lebih peristiwa dikatakan bersifat dependen jika terjadinya suatu peristiwa akan mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Dapat dikatakan bahwa dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya, kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A (Wibisono, 2007). Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, berlaku rumus berikut :

P (A n B) = P(A) . P(B)

Contoh :

Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A) = 0.3 dan P(B) = 0.4, berlaku

Jawab

P(A n B) = P(A) . P(B)

                    = 0.3 . 0.4  = 0.12

Sehingga nilai P(A n B) = P(A) . P(B) yang berarti kejadian A dan B adalah saling bebas. Konsep dua kejadian saling bebas di atas dapat dikembangkan untuk tiga kejadian saling bebas antara A, B dan C. Jika A, B dan C adalah tiga kejadian saling bebas, berlaku probabilitas A n B n C, yaitu

P(A n B n C) = P(A) . P(B) . P(C)

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An adalah kejadian-kejadian saling bebas, berlaku

P(A1 n A2 n A3 n, …, n An) = P(A1) . P(A2) . P(A3) … P(An)

Contoh :

Pada pelemparan 3 uang logam, tunjukkanlah bahwa munculnya muka dari 3 uang logam saling bebas

Jawab :

Ruang sampel (S) = {(m,m,m), (m,m,b), (m,b,m), (m,b,b), (b,m,m), (b,m,b),  (b,b,m), (b,b,b)} = 8

Misalkan

A = kejadian muncul muka uang logam 1

B = kejadian muncul muka uang logam 2

C = kejadian muncul muka uang logam 3

Maka diperoleh

A = {(m,m,m), (m,m,b), (m,b,m), (m,b,b)} = 4/8 = 1/2

B = {(m,m,m), (m,m,b), (b,m,m), (b,m,b)} = 4/8 = 1/2

C = {(m,m,m), (m,b,m), (b,m,m), (b,b,m)} = 4/8 = 1/2

P(A n B) = (m,m,m) = 1/8

Sehingga

P(A n B n C) = P(A) . P(B) . P(C)

                     = 1.2 . 1/2 . 1/2 = 1/8

Jadi, kejadian A, B dan C adalah tiga kejadian saling bebas.

c.       Peluang Bersyarat (Conditional Probability)

Probabilitas bersyarat menunjukkan besarnya kesempatan suatu peristiwa akan terjadi yang didahului oleh peristiwa lain yang dependen terhadap peristiwa tersebut. Dalam probabilitas, suatu kejadian A yang terjadi dengan syarat kejadian B yang terjadi terlebih dahulu atau akan terjadi, atau diketahui terjadi dikatakan kejadian A bersyarat B yang ditulis A/B. Probabilitas terjadinya kejadian A bila kejadian B telah terjadi disebut probabilitas bersyarat, yang ditulis P(A/B), yang artinya probabilitas peristiwa A akan terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi terlebih dahulu dan dirumuskan sebagai berikut :

P(A/B) = P(A n B) / P(B) dengan P(B) > 0

Contoh :

Misalkan sebuah dadu dilemparkan, B = kejadian munculnya bilangan kuadrat murni, dan diketahui bahwa peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan peluang munculnya bilangan genap = 2/9/ Bila diketahui A = {4,5,6} telah terjadi, tentukanlah P(A / B)

Jawab  :

S = {1,2,3,4,5,6}   P(ganjil) = 1/9                        P(genap) = 2/9

B = {1,4}

A = {4,5,6} = 2/9 + 1/9 + 2/9 = 5/9          maka P(A) = 5/9

A n B = {4} = 2/9 maka P(A n B) = 2/9

P(B / A) = P(A n B) / P(A)

              = (2/9) / (5/9) = 2/5

d.      Peluang Gabungan (Join Probability)

Perumusan yang digunakan untuk menentukan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu adalah P(B/A) = P(A n B) / P(A). Perumusan probabilitas gabungan pada peristiwa yang dependen secara statistic dapat diperoleh dengan mengalikan silang perumusan probabilitas bersyarat, sehingga menjadi P(B n A) = P(B/A) . P(A)

P(B n A)  : probabilitas akan terjadinya peristiwa A dan peristiwa B secara bersamaan

P(B/A)    : probabilitas peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu

P(A)        : probabilitas terjadinya peristiwa A

Contoh :

Pada saat menerima barang dari penyalur, biasanya pembeli memeriksa barang-barang tersebut. Dari 100 barang yang diterima ternyata ada 10 barang yang rusak. Apabila diambil dua barang secara acak dari 100 barang yang datang, berapa probabilitas bahwa kedua barang yang diambil tersebut rusak (pengambilan dilakukan tanpa pengembalian)

Jawab :

Misalkan A adalah peristiwa terambilnya barang yang rusak pada pengambilan pertama dan B adalah peristiwa terambilnya barang yang rusak pada pengambilan kedua

P(A) = 10/100, maka P(B/A) = 9/99

Karena pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, probabilitas terambil keduanya rusak adalah

P(A n B) = P(B / A) . P(A) = 9/99 . 10/100 = 90/9900 = 1/110

Untuk memperjelas pemahaman tentang peluang kejadian majemuk, perhatikan penjelasan pada video berikut ini :

(Sumber : Youtube SiBejooJadda)

B.     FREKUENSI HARAPAN SUATU KEJADIAN

Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak N kali dengan peluang kejadian A adalah P (A) , maka frekuensi harapan kejadian A adalah:

FH (A) = N x P(A)

Catatan:

·         FH (A)  = frekuensi harapan A

·         N  = banyaknya percobaan

·         P (A)         = peluang kejadian A

Contoh :

Diberikan dadu berikut ini :

Jika dadu dilempar 300x tentukan frekuensi harapan munculnya bilangan prima !

Jawab:

N = 300

Missal B = kejadian munculnya bilangan prima

B = {3, 5}↔n (B)  = 2

                  ↔        FH (B)  = N . P (B)  = 300 .  (1/3)  = 100 kali.

Untuk lebih memahami materi peluang, kerjakanlah quiz peluang di bawah ini dengan baik :